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| 1. DRYの接触圧力分布の計算 |
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差動滑りによる転がり抵抗の計算例を示します。 |
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計算条件は次のとおりです。 |
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ボール直径 ：10 mm |
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垂直荷重 Fz = 5000 N |
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内輪軌道半径 ：20 mm |
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ヤング率 E = 206 Gpa |
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外輪軌道半径 ：30 mm |
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ポアソン比 ν= 0.3 |
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内輪溝半径 ：5.2
mm |
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滑り摩擦係数 μ= 0.2 |
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外輪溝半径 ：5.2
mm |
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内輪速度 Vxi = 1000 mm/sec |
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形状と座標系は下図のとおりです。ボールの中心は静止しています。 |
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外輪はおおむね内輪の逆方向に回転しています。 |
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始めに転がり抵抗の模式的な説明を示す。図３，図４，図５はボールと内輪の接触の様子を示したもの |
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である。ボールの回転角速度ωbと内輪の回転角速度ωrは一定であるとする。図３に示すように接触 |
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面が湾曲しているために純転がりの線を境として内側ではボールの速度
ri・ωbが速く、外側では内輪 |
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の速度
Ro・ωrが速い。純転がりの線上ではボールの速度r・ωbと内輪の速度R・ωr は等しい。ボール |
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に働く摩擦力Pxは次のように与えられる。 |
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純転がりの線の内側では Px = －μ・Pz ① |
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純転がりの線の外側では Px = ＋μ・Pz ② |
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ここでμは滑り摩擦係数、Pzは垂直接触圧力である。図５に示すように純転がりの線の内側の領域を |
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Si，外側の領域をSoとし、それぞれの領域に働く摩擦力をFxi，Fxoとする。Fxi，Fxoは次のように与えら |
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れる。 |
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Fxi = ∫si Px ds ③ |
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Fxo = ∫so Px ds ④ |
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この２つの摩擦力が釣合っていると仮定すれば次式が成立する。 |
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Fxi = －Fxo ⑤ |
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摩擦力FxiとFxoがボールに及ぼすモーメントを考える。図３に示すようにボール回転軸からFxiの荷重重 |
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心までの距離をriとし、ボール回転軸からFxoの荷重重心までの距離をroとする。明らかに |
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ri > ro ⑥ |
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である。ボールに掛かるボール回転軸（Yb軸）回りのモーメントMiは次式で与えられる。 |
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Mi = Fxo・ro ＋ Fxi・ri = Fxo・( ro － ri
) < 0 ⑦ |
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ボールに掛かるモーメントMiは０でなければならないから、⑤式が成立しないことになる。すなわち総摩 |
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擦力Fxは |
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Fx = Fxi ＋ Fxo ≠ 0 ⑧ |
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このFxが転がり抵抗である。接触面が湾曲している場合には摩擦力の釣合条件とモーメントの釣合条 |
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件が一致しないことがわかる。 |
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転がり抵抗の計算手順を示す。 |
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図１と図２はボールと内外輪の接触の座標系と記号を示している。Obi,
Xbi, Ybi, Zbi はボールと内輪の |
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接触計算座標系である。Obo, Xbo, Ybo, Zbo
はボールと外輪の接触計算座標系である。ボールの中心 |
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Obが静止している座標系で考える。すなわち、外輪の速度Vxoはおおむね内輪の速度Vxiの逆向きで |
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ある。接触面が湾曲しているために接触点Obiではボールの方が内輪よりも少し速度が速い。その滑り |
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速度を⊿Vxiとする。同様に接触点Oboではボールの方が外輪よりも少し速度が速い。その滑り速度を |
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⊿Vxoとする。計算手順は次の通りである。 |
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(A) ボールの滑り速度⊿Vxiを仮定する。 |
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ここでは⊿Vxi = 17, 17.5, 18 mm/sec とした。 |
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(B)
垂直荷重Fzを掛けて、ボールと内輪の転がり接触の計算を実行する。この計算によって転がり抵抗 |
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FxとBallのYb軸回りに掛かるモーメントMiを求めることができる。FxとMiは⊿Vxiの関数である。 |
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(C)
垂直荷重Fzと(B)で求めた転がり抵抗Fxを掛けてボールと外輪の転がり接触の計算を実行する。ボ |
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ールと外輪の滑り速度⊿VxoとBallのYb軸回りに掛かるモーメントMoを求めることができる。 |
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⊿VxoとMoは⊿Vxiの関数である。FzとFxは(B)の場合と逆向きであるからZ方向とX方向の力は |
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釣合うことになる。 |
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(D)
ボールのYb軸回りに掛かる全モーメントMを計算する。Mは次式で与えられる。 |
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M = Mi ＋ Mo ⑨ |
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Mは⊿Vxiの関数である。M(17), M(17.5), M(18)
を求める。 |
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(E)
ボールに掛かる全モーメントは０でなければならないから次式が成立する。 |
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M(⊿Vxi) = 0 ⑩ |
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⑩式が成立するように⊿Vxiを調節する。 |
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3点 ( 17, M(17) ) , ( 17.5, M(17.5)
) , ( 18, M(18) ) を通る２次曲線からM(⊿Vxi) = 0 となる⊿Vxi |
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を求める。ここでは⊿Vxi = 17.41604 mm/sec
であることがわかった。 |
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(F) ⊿Vxi = 17.41604 mm/sec として(B),
(C) の計算を実行する。 |
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これでボールに掛かるXZ方向の荷重Fx,
FzとYb軸まわりのモーメントMはすべて釣合うことになる。これ |
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以外の荷重、モーメントは元々０である。(F)で求められたFxが転がり抵抗である。転がり摩擦係数μRは |
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次式で与えられる。 |
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μR = Fx / Fz ⑪ |
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計算結果は次の通りである。 |
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転がり抵抗 Fx = 17.70560509 N |
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転がり摩擦係数 μR = 0.0035411 |
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滑り速度 ⊿Vxi = 17.41604 mm/sec |
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滑り速度 ⊿Vxo = 12.02412 mm/sec |
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外輪の速度 Vxo = 1005.39192 mm/sec |
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（ボール中心が静止している時、内輪が外輪よりも少し遅い） |
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転がり摩擦係数は滑り摩擦係数よりも２桁小さい。 |
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図６にボールと内輪の間に働く摩擦力の等高線図、図７に同じデータのX軸方向から見たメッシュ図、 |
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図８にボールと外輪の間に働く摩擦力の等高線図を示す。 |
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純転がりの線はかみ合い始め側で広くぼやけている。かみ合い終り側で狭くシャープである。 |
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